关于圆锥曲线题目的研究

在爱奇艺(~~win10爱奇艺UWP看视频不等广告美滋滋~~~)上看了一个超牛的老师讲口答圆锥曲线和直线联立后$x_1+x_2$技巧的一个视频，在视频中他还提到了他还能算$x_1·x_2,\Delta和\lvert AB\rvert$，但是没有讲（意思是让去花钱听他的课）。我感觉很神奇，于是自己研究了一下，果然有技巧！下面就记录一下：

椭圆与直线联立

我们从椭圆开始讲起。
已知一个椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$和一条直线$Ax+By+C=0$，一般的圆锥曲线大题第二问都要将它们联立，即：
$$
\begin{cases}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\
Ax+By+C=0
\end{cases}
$$
然后开始联立：
若消去y,则得到的方程一定是：
$$
(a^2A^2+b^2B^2)x^2+2a^2ACx+a^2(C^2-b^2B^2)=0
$$
然后韦达定理、$\Delta$以及$\lvert AB\rvert$就水到渠成：
$$
x_1+x_2=-\frac{2a^2AC}{a^2A^2+b^2B^2}\
x_1\cdot x_2=\frac{a^2(C^2-b^2B^2)}{a^2A^2+b^2B^2}\
\Delta=4a^2b^2B^2(a^2A^2+b^2B^2-C^2)\
\lvert AB\rvert=\frac{2ab\sqrt{a^2A^2+b^2B^2-C^2}\sqrt{A^2+B^2}}{a^2A^2+b^2B^2}\
S_{\Delta OAB}=\frac{ab\lvert C\rvert\sqrt{a^2A^2+b^2B^2-C^2}}{a^2A^2+b^2B^2}
$$
若消去x,则得到的方程一定是：
$$
(a^2A^2+b^2B^2)y^2+2b^2BCy+b^2(C^2-a^2A^2)=0
$$
同样水到渠成的韦达定理、$\Delta$：
$$
y_1+y_2=-\frac{2b^2BC}{a^2A^2+b^2B^2}\
y_1\cdot y_2=\frac{b^2(C^2-a^2A^2)}{a^2A^2+b^2B^2}\
\Delta=4a^2b^2A^2(a^2A^2+b^2B^2-C^2)
$$
($\lvert AB\rvert$和上面一样)
下面来帮助记忆：(这里假定圆锥曲线中x和y的系数分别是a和b，而不是他们的平方)
首先，二次项系数就是x和y的各自两个系数(a,A和b,B)的平方乘积之和:$a^2A^2+b^2B^2$
之后，要消去谁，就先将谁的系数划掉，然后将剩下的系数乘起来再2倍，就是一次项的系数。
例如对于消去y：
第一步，划掉y的系数：
$$
\require{enclose}
\begin{cases}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\enclose{horizontalstrike}{b^2}}=1\
Ax+\enclose{horizontalstrike}{B}y+C=0
\end{cases}
$$
第二步，将方程等号左边的剩下的系数项相乘再二倍就是一次项系数啦:
$$
2\times a^2\times A\times C=2a^2AC
$$
最后求常数项：谁留下，括号外面就是圆锥曲线中谁的系数；消去谁，括号里面就是常数项的平方减去谁的所有系数平方之积：
还是以消去y为例：
括号外面就是$a^2$，而括号里面就是常数项的平方$C^2$减去y的所有系数的平方之积$b^2B^2$
也就是：
$$
a^2(C^2-b^2B^2)
$$
对于$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1·x_2=\frac{c}{a}$中对应项也是如上面说的去记即可。
之后是$\Delta$的记忆方法：
括号外都要有4倍的圆锥曲线中x和y系数的平方：$4a^2b^2$。之后保留谁，就在此基础上乘直线中谁系数的平方。消去y就是$4a^2b^2\times A^2$
括号里都是x和y的各自两个系数(a,A和b,B)的平方乘积之和$a^2A^2+b^2B^2$减去一次函数常数项的平方$C^2$，即：$a^2A^2+b^2B^2-C^2$。
最后是$\lvert AB\rvert$的记忆方法：
我们发现，
$$
\lvert AB\rvert=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\
=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+(y_1-y_2)^2-4y_1y_2}\
=\sqrt{(-{b_x\over a_x})^2-4{c_x\over a_x}+(-{b_y\over a_y})^2-4{c_y\over a_y}}\
=\sqrt{\frac{b_x^2-4a_xc_x}{a_x^2}+\frac{b_y^2-4a_yc_y}{a_y^2}}\
={\sqrt{\Delta_x+\Delta_y} \over a_x}\
=\frac{2ab\sqrt{A^2+B^2}\sqrt{a^2A^2+b^2B^2-C^2}}{a^2A^2+b^2B^2}
$$
这里$a_x,b_x,c_x,a_y,b_y,c_y$分别表示消去y和x后的到的二元一次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，$\Delta_x,\Delta_y$表示消去y和x后的到的二元一次方程的$\Delta$。因为$a_x=a_y$，所以从倒数第三行到倒数第二行成立。

双曲线和直线联立

已知一个椭圆$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$和一条直线$Ax+By+C=0$，联立得：
$$
\begin{cases}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\
Ax+By+C=0
\end{cases}
$$
刚刚的方法不好用了怎么办？凉拌？$tan90^\circ$！这种事情我会让他发生？！
其实，你只要把负号和$b^2$放在一起就好了，只不过每次乘$b^2$的时候都要加负号，即：
$$
\begin{cases}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{-b^2}=1\
Ax+By+C=0
\end{cases}
$$
其他的一样一样的！
比如消去y，得到:
$$
(a^2A^2-b^2B^2)x^2+2a^2ACx+a^2(C^2+b^2B^2)=0
$$
然后韦达定理和$\Delta$也一样：
$$
x_1+x_2=-\frac{2a^2AC}{a^2A^2-b^2B^2}\
x_1\cdot x_2=\frac{a^2(C^2+b^2B^2)}{a^2A^2-b^2B^2}\
\Delta=4a^2\times(-b^2)\times B^2(a^2A^2-b^2B^2-C^2)\ =4a^2b^2B^2(C^2+b^2B^2-a^2A^2)
$$

抛物线和直线联立

这个抛物线方程里面谁不带方就消去谁吧…
比较简单没必要记公式，记错了容易GG，所以就不总结公式了……